Homogénéisation d'un écoulement réactif à travers un pore,
en présence des grands nombres de Peclet et Damkohler


Vincent Devigne, Andro Mikelic
  Institut Camille Jordan, UFR Mathématiques, Site de Gerland
bât. A, Université Claude Bernard Lyon 1,
 50, avenue Tony Garnier,  69367 Lyon Cedex 07 

Carole Rosier
Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées 
Université du Littoral
50 rue F.Buisson, B.P. 699, 62228 Calais Cedex}

Résumé: Nous présentons la dérivation rigoureuse, en utilisant la technique des perturbations singulières anisotropes, d'un modèle efficace pour une diffusion augmentée dans un pore 2D de faible épaisseur. Nous partons des équations au niveau du pore, décrivant le transport d'un soluté réactif par convection et par diffusion. Sur la surface du pore, le soluté subit une réaction chimique du premier ordre. Le petit paramètre ε du problème correspond au rapport entre le temps caractéristique transversal de la diffusion et le temps caractéristique longitudinal du transport. Nous nous intéressons au régime d'écoulement décrit par des grands nombres de Peclet et de Damkohler.

En utilisant l'énergie et des estimations a priori, nous trouvons que la taille critique pour le nombre de Peclet est ε−2. Pour les nombres de Peclet inférieurs à cette taille critique, nous obtenons une diffusion efficace augmentée de 8 D PeT2 /945, où D est le coefficient de diffusion et PeT le nombre de Peclet transversal. Par ailleurs, nous considérons un nombre de Damkohler du même ordre et nous trouvons que, en plus de l'apparition d'un terme réactif, nous obtenons une augmentation de la vitesse efficace, qui est proportionnelle au nombre de Damkohler transversal.

Les modèles efficaces sont justifiés rigoureusement, comme une approximation des problèmes physiques et nous donnons l'erreur d'approximation comme une puissance du paramètre ε. Nos estimations sont faites avec une norme anisotrope décrivant l'énergie, mais nous donnons également les estimations d'erreur en norme L∞. Notons que nos résultats contiennent la justification pour la dispersion de Taylor comme un cas particulier.

Finalement, nous présentons des simulations numériques illustrant les écoulements réactifs à travers un pore pour de grands nombres de Peclet et de Damkohler.
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