Méthodes numériques pour le transport et le couplage
chimie-transport
Jocelyne Erhel (INRIA Rennes / IRISA), Michel Kern (INRIA
Rocquencourt)
Nous présentons des travaux dans deux directions :
Le traitement des réactions de précipitation-dissolution
Les réactions de précipitation-dissolution sont des réactions à seuil
qui n'ont lieu que si le produit de solubilité du solide vaut 1. Dans
un système chimique comprenant plusieurs minéraux, il n'est pas
toujours facile de savoir a priori quelles réactions vont effectivement
se produire. La méthode usuelle implique une procédure combinatoire
potentiellement à la fois coûteuse (on résout plusieurs fois un système
non-linéaire) et hasardeuse (en théorie, la procédure peut cycler).
Nous proposons de reformuler le problème comme un problème de
complémentarité
non-linéaire, qui conduit à un système similaire aux équations KKT en
optimisation avec contrainte. Il est alors naturel de tenter de
résoudre ce dernier problème par une méthode de
points intérieurs, après avoir relaxé la contrainte de complémentarité.
À chaque itération, la direction de Newton est modifiée pour assurer
que les itérés restent « suffisamment » positifs, et le
paramètre de relaxation tend vers 0. L'avantage de la méthode est de
converger vers la solution du problème original sans avoir besoin de
spécifier à priori quels sont les minéraux qui vont précipiter.
L'inconvénient est que la taille du problème résolu augmente, et que
les systèmes linéaires rencontrés peuvent devenir très mal conditionnés.
Méthodes globales pour le couplage
Le transport réactif en milieu poreux conduit, dans le cas de réactions
à l'équilibre, à un système algébro-différentiel. Les méthodes, et les
logiciels, pour résoudre ce type de problèmes, ont atteint un haut
degré de maturité, et il est naturel de formuler le problème couplé
(après discrétisation en espace) de façon à pouvoir utiliser l'un de
ces logiciels.
En prenant comme inconnues principales du problème les concentrations
des composants, nous obtenons une formulation qui évite d'avoir à
résoudre l'équilibre chimique en chaque point, à chaque itération de
Newton. Nous considérons d'abord le cas d'une chimie sans précipitation.
Le coût principal d'une itération vient de la résolution d'un
système linéaire dont la matrice est la jacobienne du système couplé,
donc faisant intervenir toutes les concentrations en tous les points.
Pour nos premières investigations, nous avons considéré le transport en
une dimension, et il est possible de calculer et de stocker cette
matrice.
Une mise en oeuvre en Matlab montre, à condition de prendre soin
d'utiliser des matrices creuses pour la partie algébrique, que la méthode
est largement compétitive avec la technique de séparation d'opérateurs.
L'étape suivante consiste à inclure les réactions de
précipitation-dissolution et la méthode développée ci-dessus.