Estimations d'erreur a posteriori et adaptivité pour des schémas combinés volumes finis - éléments finis sur des maillages qui ne se raccordent pas
Robert Eymard 1, Danielle Hilhorst 2, Martin Vohralík 2
1 Département de Mathématiques, Université de Marne-la-Vallée,
5 boulevard Descartes, Champs-sur-Marne, 77 454 Marne-la-Vallée
2 Laboratoire de Mathématiques, Analyse Numérique et EDP,
Université de Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay, France
Nous proposons et étudions un schéma numérique pour la discrétisation d'équations de convection-réaction-diffusion non linéaires paraboliques dégénérées, qui décrivent le transport réactif de contaminants en milieu poreux. Nous nous attachons à utiliser des maillages qui ne se raccordent pas (comme par exemple un maillage carré où seulement certaines mailles sont sous-divisées). Nous discrétisons le terme de diffusion, qui contient en général un tenseur de diffusion inhomogène et anisotrope, par la méthode des éléments finis conformes et les autres termes par la méthode des volumes finis. Pour discrétiser le terme de convection, qui peut être dominant, nous utilisons un flux numérique tenant compte du nombre de Péclet local, de façon à minimiser la diffusion numérique. Nous démontrons que le schéma est localement conservatif, qu'il vérifie le principe de maximum discret sous certaines conditions sur le maillage et sur le tenseur de diffusion et que la solution approchée converge vers la solution faible. Le schéma reste très robuste et efficace; en comparaison avec d'autres schémas pour les maillages qui ne se raccordent pas, nous évitons en particulier d'introduire des équations ou des inconnues supplémentaires et d'interpoler sur les frontières entre les mailles qui ne se raccordent pas. Dans cet exposé, nous présentons la dérivation d'estimations d'erreur a posteriori, pour l'instant dans le cas linéaire. En adaptant la théorie développée pour les éléments finis (cf. [1], [2]), on déduit de la partie spatiale du résidu une borne supérieure pour l'erreur entre la solution exacte et la solution approchée, qui peut être ensuite utilisée pour le raffinement des mailles où la précision est insuffisante. La partie temporelle du résidu permet ensuite de raffiner adaptativement le pas de temps. Nous présentons finalement des résultats de simulation pour un problème modèle ainsi que pour un problème hydrologique réaliste.

Références

[1]
Verfürth R., A posteriori error estimates for finite element discretizations of the heat equation, Calcolo 40 (2003), 195–212.
[2]
Verfürth R., A posteriori error estimators for convection-diffusion equations, Numer. Math. 80 (1998), 641–663.
Ce document a été traduit de LATEX par HEVEA