Comparaison de deux schémas de volumes finis pour opérateurs de diffusion anisotrope

Robert Eymard, Université de Marne la Vallée

L'adaptation de schémas de volumes finis aux problèmes anisotropes est un enjeu majeur pour le calcul des écoulements de l'eau dans les sous-sols d'une part, pour la prise en compte de la dispersion cinématique des éléments chimiques transportés d'autre part.
Nous présentons dans cet exposé une comparaison entre deux schémas de volumes finis apparus récemment: - le schéma VF13, basé sur une reconstruction du gradient présentant à la fois des propriétés de convergence forte et faible, - le schéma de volumes finis mixtes, basé sur une relation de consistance entre le gradient de l'inconnue et son intégrale sur les faces du maillage. Ces deux schémas présentent en effet des propriétés contrastées: le premier nécessite des maillages admissibles (lignes joignant les centres de mailles orthogonales aux faces), mais ne comporte qu'une inconnue par maille. Le second s'adapte à des maillages très généraux, mais nécessite une inconnue par interface. Ainsi l'implémentation de ces deux schémas conduit à des structures de données très différentes. Il est à noter que les deux schémas permettent de traiter des problèmes tridimensionnels, ce qui est une condition nécessaire pour une utilisation industrielle. De plus, pour les deux schémas, des preuves de convergence existent.